目錄
第一章 概 述…………………………………………………… 1
1.1 引言……………………………………………………… 1
1.2 學習有限元素法動機…………………………………… 3
1.3 求解問題簡述…………………………………………… 4
1.4 數值方法的種類………………………………………… 7
1.5 本書內容………………………………………………… 7
1.6 參考書籍………………………………………………… 8
第二章 一維問題…………………………………………………. 13
2.1 一維問題例子…………………………………………… 13
2.2 一維通式問題…………………………………………… 36
2.3 一維通式問題加權殘差弱滿足表示式………………… 41
2.4 元素矩陣計算…………………………………………… 45
2.5 程式內容有關…………………………………………… 53
第三章 二維問題…………………………………………………. 59
3.1 二維計算例……………………………………………… 59
3.2 加權殘差式……………………………………………… 62
3.3 數值計算………………………………………………… 69
3.4 二維通式問題…………………………………………… 84
第四章 二維元素…………………………………………………. 101
4.1 三角形元素形狀函數…………………………………… 101
4.2 三角形元素形狀函數－面積座標（area coordinates）.. 108
4.3 二維四邊形元素………………………………………… 115
4.4 有限元素法計算式……………………………………… 121
第五章 含四次微分項問題之解法………………………………. 131
5.1 樑變形方程式…………………………………………… 131
5.2 加權殘差表示式………………………………………… 133
5.3 樑元素之形狀函數……………………………………… 135
5.4 Galerkin有限元素矩陣式……………………………… 141
5.5 樑問題計算例…………………………………………… 142
5.6 樑位移方程式相關基本概念…………………………… 148
第六章 時間領域問題的處理（Time-DependentProblem）….. 157
6.1 一維拋物線型態熱傳遞問題…………………………… 157
6.2 有限元素表示式………………………………………… 158
6.3 時間的差分法…………………………………………… 159
圖目錄
圖1-1 Pick-up truck撞擊變形模擬……………………………… 2
圖1-2 兩輛車撞擊變形…………………………………………… 2
圖1-3 船開過週遭水位變化模擬………………………………… 3
圖1-4 Katrina颶風在墨西哥灣引起水位變化模擬……………… 3
圖2-1 近似解的建立……………………………………………… 15
圖2-2 基本函數一次微分………………………………………… 19
圖2-3 元素上的形狀函數………………………………………… 20
圖2-4 計算領域取4個元素和5個節點………………………… 23
圖E2-1 練習2-1結果……………………………………………… 32
圖2-5 一維通式問題示意圖……………………………………… 36
圖2-6 質量守恆定律示意圖……………………………………… 37
圖2-7 一維通式問題示意圖……………………………………… 39
圖2-8 元素號碼，節點號碼，整個問題元素格網……………… 47
圖2-9 整個問題元素和節點與元素的節點……………………… 47
圖2-10 整個問題節點的函數與元素上節點的函數…………… 47
圖E2-2 練習問題2-2結果（20個元素）………………………. 55
圖3-1 理想流通過圓形斷面示意圖……………………………… 60
圖3-2 四分之一象限求解理想流通過圓形斷面示意圖………… 61
圖3-3 二分之一象限求解理想流通過圓形斷面示意圖………… 61
圖3-4 理想流通過圓形斷面元素格網圖………………………… 63
圖3-5 三角形元素在邊界示意圖………………………………… 65
圖3-6 法線向量直角座標分量示意圖…………………………… 66
圖3-7 一維形狀函數…………………………………………….. 67
圖3-8 有限元素格網節點和元素圖…………………………….. 69
圖E3-1(a) 理想均勻流通過兩平板之間……………………….. 82
圖E3-1(b) 理想均勻流通過兩平板之間……………………….. 82
圖3-9 二維通式問題示意圖…………………………………….. 85
圖3-10 二維問題示意圖…………………………………………. 85
圖3-11 不同材質交界上的邊界條件……………………………. 87
圖3-12 兩個分區透過交界合併…………………………………. 90
圖3-13 三角形元素格網…………………………………………. 91
圖3-14 四邊形元素格網…………………………………………. 91
圖3-15 元素格網與問題領域近似的情形………………………. 92
圖3-16 一個元素在整個領域中的情形…………………………. 94
圖3-17 在元素上建置加權積分式……………………………… 96
圖3-18 元素邊界項累加示意圖………………………………… 97
圖E3-2(a) 透水區域和河川水井配置示意圖…………………… 99
圖E3-2(b) 透水區域等勢函數線………………………………… 99
圖E3-2(c) 透水區域透水區域流速分佈…………………………. 100
圖4-1 三角形元素節點上座標…………………………………… 101
圖4-2 三角形面積節點順序……………………………………… 104
圖4-3 節點2基本函數幾何圖形………………………………… 105
圖4-4 三角形自然座標線性形狀函數…………………………… 106
圖4-5 三角形面積座標定義……………………………………… 109
圖4-6 任意三角形面積座標定義………………………………… 109
圖4-7 面積座標頂點2的二次形狀函數………………………… 111
圖4-8 面積座標中間點4的二次形狀函數……………………… 112
圖4-9 四邊形線性元素的建立…………………………………… 118
圖4-10 四邊形線性形狀函數…………………………………….. 118
圖4-11 四邊形9個節點二次形狀函數………………………….. 120
圖4-12 常用四邊形二次形狀函數的建立………………………. 120
圖4-13 四邊形二次形狀函數……………………………………. 120
圖4-14 兩個方向分別為3點法則的9點高斯積分點與加權因子 126
圖4-15 四邊形線性元素定義……………………………………. 127
圖5-1 懸臂樑受外力作用定義圖………………………………… 131
圖5-2 剪力、彎矩、作用力關係………………………………… 132
圖5-3 樑元素變數定義圖………………………………………… 134
圖5-4 Hermite三次內插函數和微分式圖形……………………. 140
圖5-5 懸臂樑受力計算示意圖…………………………………… 143
圖5-6 樑兩個元素節點變數定義圖……………………………… 144
圖5-7 樑整個問題節點變數定義圖……………………………… 144
圖5-8 樑彎曲定義圖……………………………………………… 149
圖5-9 曲率正負號之定義………………………………………… 150
圖5-10 樑受彎矩作用示意圖……………………………………. 150
圖5-11 樑受彎矩作用變形示意圖………………………………. 151
圖5-12 正向應力分佈圖…………………………………………. 152
圖5-13 正向應力計算力和彎矩定義圖………………………….. 153
圖5-14 剪力和彎矩定義圖……………………………………….. 154
圖6-1 時間座標軸上間距的定義………………………………… 159
第一章 概 述
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引言
有限元素法名稱中文是由英文名稱直接逐字翻譯，有限（Finite）元素（Element）法（Method）。儘管是逐字直接翻譯，但中文的描述也很恰當，意思是說使用有限個元素（finite elements）進行計算的方法。有限元素法為數值方法（numerical method）或稱數值模擬（numerical simulation）方法的一種，簡單的說就是利用電腦來進行計算的方法。可是所指的“電腦計算”是甚麼意思呢？電腦計算的結果到底要得到甚麼呢？在概念上來說，就是要知道所計算的問題會有怎樣結果？這裡就牽涉到“所計算的問題”，以及“結果”，也就是說電腦計算是要計算一個問題，然後得到答案。舉例來說，電腦模擬小貨車撞牆產生的扭曲變形，如圖1-1所示，所模擬的問題為小貨車撞牆，模擬結果則為車子變形的情形。在模擬的開始，可以看到給定的是完整的小貨車模型，然後才是車子逐漸變形的結果。圖1-2則為兩輛車相撞所產生的車子損壞情形，同樣的，一開始也是給定完整的車子模型，然後計算車子相撞後的變形結果。這裡除了看電腦模擬結果外，仍然要提醒，電腦所模擬的物理問題需要有一個對應的數學描述，數值方法則針對問題的數學描述來進行求解計算。圖1-3為船隻開進港口引起周遭的水位變化。可以理解的，船隻還沒有進港前，給定的條件為水位靜止，然後，船隻開進港內逐漸引起水位的變化。圖1-4則為Katrina颶風在墨西哥灣引起的水位變化，模擬的標的為墨西哥灣海域受到Katrina颶風作用，引起海域水位的變化。
圖1-1 Pick-up truck撞擊變形模擬
（https://www.youtube.com/watch?v=6vWbfKKJUD8）
圖1-2 兩輛車撞擊變形（https://www.youtube.com/watch?v=hrfcROMz2II）
圖1-3 船開過週遭水位變化模擬（https://www.youtube.com/watch?v=LikuVfR6lMI）
圖1-4 Katrina颶風在墨西哥灣引起水位變化模擬（https://www.youtube.com/watch?v=wBXn2P2C5Q4）
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學習有限元素法動機
以數值模擬方法而言，有限元素法已經不再像1980年一樣了，目前大家都競相使用現成的軟體或商用軟體，開發軟體寫程式已經不是主流，那麼學習有限元素法的動機，當下只能說是了解有限元素法建置的原理和輸入輸出所使用的格式和條件，在得到計算結果時或許比較能夠知道用來計算的條件或者得到的結果是否有經過進一步的調整。然而，使用open source的程式如果需要調整，這時候學習方法就相當有效用了。
有限元素法如果安排在研究所水準，則學習內容和要求目標當然不同。如果是定在大學部水準則要求目標為按照數值模式使用手冊進行操作。研究所要求目標則為能夠建立數值模式然後求解新的問題。所謂新的問題求解當然不是現有商業軟體或者開放軟體能夠計算的。有限元素法為應用電腦“數值計算”求解“問題”的工具。因此，涉及有限元素法基本方法論、所求解問題的建置、以及數值模擬的作法。
研究方法包括理論、試驗、數值、現場，無論何者都希望能夠有另外一個方法來說明自己結果的正確性。使用有限元素法作為數值方法的工具計算所要研究的問題算是相當好的作法。學會有限元素法可以計算所要求解的問題，另外一方面則為增加一項所謂使用電腦進行計算的能力。以目前使用電腦相當普及的環境來看，也算是相當有必要。近年來，學習使用電腦模擬建立電腦計算模式的人口漸漸缺乏，具有這項電腦模擬方法也算是增加一技之長更增加自己的競爭力。有限元素法使用到電腦程式語言，諸如FORTRAN，目前學習者則多使用Matlab或Mathematica較高階的語言作計算。
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求解問題簡述
所求解問題一般指的是邊界值（boundary value problem）問題，或含有時間的邊界值問題，或稱為動力分析問題（dynamic analysis）。邊界值問題包括控制方程式，以及對應的邊界條件。控制方程式為定義在計算領域（domain）的微分方程式。
偏微分方程的種類有三種，拋物線型態（parabolic）、雙曲線型態（hyperbolic）、以及橢圓型態（elliptic）。參考Farlow（1993）。
一維拋物線型態微分方程式可寫為：
(1-1)
式中等號右邊第一項為擴散項（diffusion），第二項為傳輸項（convection），第三項為與u0之差異項，第四項則為外源項（external source）。
對應邊界條件為：
(1-2a)
(1-2b)
起始條件為：
(1-3)
一維雙曲線型態微分方程式可寫為：
(1-4)
對應邊界條件為：
(1-5a)
(1-5b)
起始條件為：
(1-6a)
(1-6b)
一維橢圓型態微分方程式可寫為：
(1-7)
對應邊界條件為：
(1-8a)
(1-8b)
由上面三種微分方程式的型式可以看出，橢圓型態問題沒有時間微分，而拋物線型態則有一次時間微分項，雙曲線型態有二次時間微分項。就數值方法求解問題而言，一般在介紹上都由橢圓型態問題開始，至於時間微分項的處理則直接應用有限差分法對時間積分，或在力學問題上面稱為動力分析（dynamic analysis）。三種微分方程式整理如下：
(1-9a)
(1-9b)
(1-9c)
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數值方法的種類
數值方法主要可以分成領域方法（domain method）或邊界方法（boundary method）。數值方法求解邊界值問題，即在求得數值近似解，分別滿足領域中的控制方程式，以及邊界上的條件。就數值方法求解而言，有些方法滿足邊界條件，然後求得領域中的近似解，如有限差分法、有限元素法，這類方法稱為領域方法。而有些方法滿足領域的控制方程式，然後去計算邊界上的函數值，如邊界元素法（boundary element method），這類方法稱為邊界方法。
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本書內容
本書為介紹有限元素法基礎、數值模式架構之建立、以及有限元素法之應用，同時介紹配合有限元素法計算的數值方法。內容編輯目標為使學習者足以運用有限元素法求解基本問題。有限元素法的書籍一則原文書，一則大都為結構計算所寫或者僅為參考書，都無法有效的讓學習者清楚明瞭。作者參考幾本寫得比較好的書加上多年教學經驗，編排成本書內容。
本書內容摘要：
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概述
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一維問題有限元素法計算例以及通式建置：一維問題的說明最容易看出方法的特性。藉由一維問題的求解說明有限元素法的計算過程以及專屬概念。接著再以通式說明含有Delta函數的做法。
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二維問題有限元素法計算例以及通式建置：作法和一維問題相同，以計算問題說明有限元素法的求解程序，接著再說明通式的作法。
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四次微分控制方程式的有限元素法模式：四次微分方程式出現在樑的變形位移方程式，利用有限元素法求解比較特別，值得特別說明。
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時間微分項的處理：一般數值方法皆由橢圓型態（elliptic）方程式著手，含有一次時間微分的拋物線型（parabolic）以及雙曲線型（hyperbolic）則需要配合時間的差分法進行求解。這裡僅介紹時間差分的基本概念，其餘各種型態上的變形則由讀者參考有限差分法處理。
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其他。
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參考書籍
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Finite Elements ---- An Introduction, Volume I
By Eric B. Becker, Graham F. Carey, and J. Tinsley Oden, 1981.
(photo of the book)
Table of contents
Chap1. A model problem
Chap2. One dimensional problems (general formulation)
Chap3. Development of a finite element program
Chap4. Two dimensional problems (general formulation)
Chap5. Two-dimensional element calculation
(quadrilateral element, triangular element)
Chap6. Fourth-order problems (deflection of beams)
Chap7. Time dependent problems
這本書為作者參考用書的主力，一維和二維問題都以通式（general)來呈現，也就是說藉由這樣建立起來的模式可以計算所有的問題。志向非常大，但是學習者將迷失在通式的處理中，不容易堅持學習到最後。這本書僅為第一冊，後續的第三冊為Computation Aspects有提到一些有限元素法的計算技巧可以參考。
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An Introduction to the Finite Element Method
by J. N. Reddy, 1993, McGraw-Hill.
(photo of the book)
這本書裡面的樑四次微分問題，藉由變數的統一定義讓計算變得更有系統，值得學習引用。
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Finite Element Programming of The Navier-Stokes Equations
by C.taylor and T.G. Hughes
(photo of the book)
介紹有限元素法計算Navier-Stokes方程式的書不多，流體水利領域的能夠有這樣的參考相當難得。特別本書裡面有附上程式和說明更是值得學習。不過需要留意的是，程式的寫法由於考慮到電腦計算記憶體的儲存利用，因此反而讓程式讀起來不容易了解。在此則建議讀者嘗試自己寫程式碼進行計算。
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Finite Element Analysis in fluid Dynamics
by T.J. Chung
使用有限元素法說明在流體動力學方面的應用本來書籍就少，這本書可以參考。在理想流方面的計算例子特別可以參考。
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The Finite Element Method—Concepts and Applications
by R.D. Cook
有限元素法除了方法本身的原理和作法外，這本書雖然以土木結構為主體，但是在有限元素法使用技巧方面，特別是二維元素的自動產生，以及元素號碼最佳化的說明最值得參考。
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Farlow, S.J., Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publications, 1993.
http://books.google.com.tw/books/about/Partial_Differential_Equations_for_Scien.html?id=DLUYeSb49eAC&redir_esc=y
對於偏微分（Partial Differential Equation）的介紹有相當好的整理值得仔細閱讀，偏微分方程式的分類、解析解的特性有相當明確的說明。